Треугольник

Треуго́льник в евклидовом пространстве — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).

Треугольник

Статья в Википедии

Медиафайлы на Викискладе

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой.

Треугольник в коротких цитатах

	Философия написана в величественной книге <...> на языке математики, и знаки её — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова...
	— Галилео Галилей, «Пробирных дел мастер», 1623

	Я не сомневаюсь, что если бы истина, что три угла треугольника равны двум углам квадрата, противоречила чьему-либо праву на власть или интересам тех, кто уже обладает властью, то <...> учение геометрии было бы если не оспариваемо, то вытеснено сожжением всех книг по геометрии.
	— Томас Гоббс, 1640-е

	Если бы треугольники создали себе бога, он был бы с тремя сторонами.
	— Шарль Монтескье, 1740-е

	Голые места на передней части шеи и груди <гелады> образуют два соединяющихся остриями треугольника и напоминают рисунок песочных часов...:363
	— Альфред Брем, «Жизнь животных», 1869

	…В городе было три кабака, и все жители целый день и добрую половину ночи шагали по треугольнику из одного в другой.
	— О. Генри, «Трест, который лопнул», 1908

	Священный треугольник, триада, есть ключ к Майским письменам.
	— Константин Бальмонт, «Изъяснительные замечания. Майя», 1908

	Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике...
	— Вениамин Каган, 1910-е

	Целую на мраморе царственный треугольник Нежно курчавящихся золотых волос.
	— Михаил Зенкевич, «Золотой треугольник», 1913

	И всё-таки я, он и О — мы треугольник, пусть даже и неравнобедренный, а всё-таки треугольник. Мы, если говорить языком наших предков (быть может, вам, планетные мои читатели, этот язык — понятней), мы — семья.
	— Евгений Замятин, «Мы» (Запись 8-ая), 1921

	...я увидел странное сочетание: высоко вздернутые у висков тёмные брови — насмешливый острый треугольник, обращенный вершиною вверх — две глубокие морщинки, от носа к углам рта. И эти два треугольника как-то противоречили один другому, клали на всё лицо этот неприятный, раздражающий X — как крест: перечеркнутое крестом лицо.
	— Евгений Замятин, «Мы» (Запись 10-ая), 1921

	Ведьма, сев на треугольник, Превращается в дымок.
	— Николай Заболоцкий, «Меркнут знаки Зодиака...», 1929

	Русло реки напоминало широкий треугольник, вершина которого, вытягиваясь, исчезала в изгибе ущелья. У основания треугольника высокий пенистый вал обозначал одиночный большой камень, а за ним треугольник пересекался рядом острых, похожих на черные клыки камней, окруженных неистово крутящейся водой.
	— Иван Ефремов, «Тень минувшего», 1944

	...нравственный идеал светит нам подобно звезде Бетельгейзе, которая <...> с Сириусом и Проционом, созвездиями Большого и Малого Пса образует блестящий равносторонний треугольник, обнимая каждой стороной около двадцати шести градусов…
	— Михаил Анчаров, «Теория невероятности», 1965

	Как многогранны любовные треугольники!
	— Анатолий Рас, 1970-е

	Архимед общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. <...> Именно он придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам...
	— Владимир Тихомиров, «Великие математики прошлого и их великие теоремы», 1999

	У женщин лобок ― его еще называют лунный холмик, венерин бугорок ― это как бы треугольник с вершиной, направленной вниз...
	— Владимир Шахиджанян, «1001 вопрос про ЭТО», 1999

	В любовном треугольнике всегда один угол тупой!
	— Михаил Задорнов, 1990-е

	Загадка: как найти площадь треугольника, если нам известна его высота… а вам нет!
	— команда КВН «Станция Спортивная», 2002

	...получается такой треугольник: я, текст и читатель, и в этом треугольнике и заключена повесть.
	— Харуки Мураками, интервью, 11 июня 2004

	...отрешённость от мирской суеты, роднящая благородные газы с идеальными окружностями и треугольниками, несомненно, очаровала бы Платона.
	— Сэм Кин, «Исчезающая ложка, или Удивительные истории из жизни периодической таблицы Менделеева», 2010

	...каштаны цвели белые грозди белые пирамиды белые треугольники покрывающие лучистую зелень шершавых листьев...
	— Леонид Коныхов, «Ах, но всё-таки», 2010

	Чем ближе к северу, тем тишина яснее, Тем треугольней бледная вода...
	— Олег Юрьев, «Чем ближе к северу» (из цикла «Из поезда»), сентябрь 2011

Треугольник в научно-популярной литературе и публицистике

Прямоугольный треугольник и открытие иррационального числа

Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять её может лишь тот, кто сначала научится постигать её язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки её — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречён блуждать в потёмках по лабиринту.

— Галилео Галилей, «Пробирных дел мастер», 1623

Иные думают, что Бог есть свободная причина потому, что он может, по их мнению, сделать так, чтобы то, что, как мы сказали, вытекает из его природы, то есть находится в его власти, не происходило, иными словами, не производилось бы им. Но это то же самое, как если бы они сказали, что Бог может сделать так, чтобы из природы треугольника не вытекало равенство трех углов его двум прямым или чтобы из данной причины не следовало следствие; а это нелепо.

— Бенедикт Спиноза, «Этика», 1677

Правильно также говорится, что число овец и собак, если оно одинаково, тождественно, а сама десятка не тождественна и десять [предметов] не тождественны — так же как не тождественны треугольники — равносторонний и разносторонний. По фигуре, однако, они тождественны, ибо оба треугольники. Ведь тождественным называется то, в чем нет специфического отличия, а не то, в чем [такое] отличие имеется. Например, [равносторонний] треугольник отличается от [разностороннего] треугольника специфическим [для треугольников] отличием, следовательно, [эти] треугольники разные. И однако по фигуре они не отличаются, но принадлежат к одному и тому же разряду. Потому — что, [например], такая-то фигура — круг, а такая-то — треугольник, но из треугольников один [будет] равносторонний, а другой — разносторонний. Фигура их, правда, тождественна (ибо [и тот и другой] треугольник), но как треугольники они не тождественны.

— Аристотель, «Физика» (Книга 4, глава 14), 1862

Два сопряженных полюса и полюс соединяющей их прямой (или две сопряженные прямые и поляра для точки их пересечения) определяют треугольник (или трехсторонник), в котором каждая сторона является полярой для противоположенной вершины. Такой треугольник или трехсторонник называется сопряженным к данной конике. <...> Если два треугольника вписаны в некоторую конику, то вокруг них можно и описать некоторую другую конику и наоборот. Для того, чтобы два треугольника являлись сопряженными к одной и той же конике, необходимо и достаточно, что вокруг них можно было описать некоторую другую конику или чтобы их можно было вписать некоторую третью. Это свойство может быть выражено следующим образом: коника, касающаяся пяти из шести сторон двух треугольников, сопряженных к некоторой заданной конике, касается также и шестой, а коника, определенная заданием пяти вершин, проходит также через шестую.

— Луиджи Кремона, «Введение в геометрическую теорию плоских кривых», 1862

	От гамадрила геладу можно отличить с первого раза: густой мех на задней части шеи, затылке и спине удлиняется в виде епанчи; цвет тела темно-бурый, шерсть на горле, груди, животе и предплечьях черно-бурого цвета. Лицо черное. Голые места на передней части шеи и груди образуют два соединяющихся остриями треугольника и напоминают рисунок песочных часов; они окаймлены белыми и черными волосами.:363
	— Альфред Брем, «Жизнь животных», 1869

	Заднепроходный плавник самчика <гамбузии> имеет вид заостренного треугольника.
	— Николай Золотницкий, «Аквариум любителя, Гамбузия», 1885

	В Майском календаре, как в Мексиканском, было 18 месяцев, по 20-ти дней в месяце, и 5 дней дополнительных. Этот счет помогает в расшифровке иероглифов, он дал идею — чтения их треугольником. Священный треугольник, триада, есть ключ к Майским письменам.
	— Константин Бальмонт, «Изъяснительные замечания. Майя», 1908

Восходящий треугольник можно именовать треугольником Иисуса — он символизирует эволютивный процесс нашего Искупления. Тогда нисходящий треугольник будет треугольником Марии — элемента, участвовавшего в инволютивном процессе Воплощения. Stauros будет показывать, что Искупление — Цель, а Воплощение — Средство. Рассматривая наш пантакль как знак Макрокосма, т. е., как общую схему хода феноменов в Природе, мы назовем восходящий треугольник — треугольником Огня, символа эволютивных, утончающих, возрождающих, очищающих процессов. Нисходящий треугольник получит название треугольникаВоды, символизирующей совокупность инволютивных, сгущающих, порождающих косность, осложняющих процессов. Stauros даст нам понять, что жизнь густого, косного, сложного есть лишь отражение жизни лучезарного, тонкого, простого. Материя обязана существованием Духу, а не наоборот.

— Григорий Мёбес, «Курс энциклопедии оккультизма», 1910

	Если художник использует абстрактные средства выражения, это ещё не означает, что он абстрактный художник. Это даже не означает, что он художник. Существует не меньше мёртвых треугольников, будь они белыми или зелёными, чем мёртвых куриц, мёртвых лошадей и мёртвых гитар.
	— Василий Кандинский, 1930-е

	Молекула H2S имеет структуру равнобедренного треугольника с атомом серы в центре...:I:311
	— Борис Некрасов, «Основы общей химии» (том 1), 1965

	Молекула закиси серы отвечает формуле S = S = O и представляет собой неравносторонний треугольник <...> Она полярна, причём, средний атом положителен по отношению к обоим крайним.:I:325
	— Борис Некрасов, «Основы общей химии» (том 1), 1965

	Архимед общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен. Именно он придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам (она известна нам как формула Герона).
	— Владимир Тихомиров, «Великие математики прошлого и их великие теоремы», 1999

	У женщин лобок ― его еще называют лунный холмик, венерин бугорок ― это как бы треугольник с вершиной, направленной вниз ― женский тип оволосения. Если много мужских гормонов, то волосяной покров распространяется по мужскому типу ― имеет форму ромба, волосы густые, жесткие, закрученные.
	— Владимир Шахиджанян, «1001 вопрос про ЭТО», 1999

...ни один благородный газ не реагирует с другими элементами при нормальных условиях. Вот почему, несмотря на исключительно упорные попытки обнаружить и назвать эти элементы (попытки предпринимались на протяжении всего XIX века), восемнадцатый столбец пустовал вплоть до 1895 года. Такая отрешенность от мирской суеты, роднящая благородные газы с идеальными окружностями и треугольниками, несомненно, очаровала бы Платона.

— Сэм Кин, «Исчезающая ложка, или Удивительные истории из жизни периодической таблицы Менделеева», 2010

Треугольник в мемуарах, письмах и дневниковой прозе

Красный треугольник

	Рио — голый город. Остап Бендер, мечтавший о прогулках по набережной в белых штанах, был бы страшно разочарован. В Рио половина населения ходит в треугольниках на нитках — у женщин три, у мужчин один.
	— Пётр Вайль, «Гений места», 1998

	Я пишу повести, а повести пишутся естественно. Так что говорить — что означает то или иное произведение, это не моя проблема, это вопрос текста. Хотя между мной и текстом, разумеется, есть определенная связь, есть еще и связь между текстом и читателем, и я не в состоянии намеренно ее определять. И вот получается такой треугольник: я, текст и читатель, и в этом треугольнике и заключена повесть.
	— Харуки Мураками, интервью, 11 июня 2004

Понимаете, два главных треугольника определяют лицо русской революции: треугольник Осип, Лилия и Володя, понятно, да, и треугольник Володя, Инесса и Надя, конечно. Эти треугольники с Володей во главе определили русскую свободу. Но, к сожалению, это очень... Пока в России женские измены не станут нормой, а мужья не станут это одобрять, ни о какой политической свободе в России и говорить не приходиться. Вперёд!

— Дмитрий Быков, 2018

Треугольник в беллетристике и художественной прозе

	Обед состоял из двух перемен, по три блюда в каждой. В первой перемене были баранья лопатка, вырезанная в форме равностороннего треугольника, кусок говядины в форме ромбоида и пудинг в форме циклоиды.
	— Джонатан Свифт, «Путешествия Гулливера», глава II (пер. А. А. Франковского), 1726

	Он заглянул и в городской сад, который состоял из тоненьких дерев, дурно принявшихся, с подпорками внизу, в виде треугольников, очень красиво выкрашенных зелёною масляною краскою.
	— Николай Гоголь, «Мёртвые души», 1842

	Серая Шейка осталась на реке одна и долго провожала глазами улетавший косяк. Сначала все летели одной живой кучей, а потом вытянулись в правильный треугольник и скрылись.
	— Дмитрий Мамин-Сибиряк, «Серая шейка», 1891

	В градусах двадцати от севера он увидел большой треугольник цвета ржавчины с неровными, словно разъеденными серной кислотой, краями. Постепенно треугольник светлел, приобретая прозрачность воды — настоящее озеро, вытянутое к северу, по которому пробегала зыбь, похожая на волны блекло-красного цвета.
	— Жозеф Рони, «Катаклизм» (Le Cataclysme), 1896

	…В городе было три кабака, и все жители целый день и добрую половину ночи шагали по треугольнику из одного в другой. Каждому было отлично известно, что ему делать со своими деньгами.
	— О. Генри, «Трест, который лопнул», 1908

С тех пор как осенью 1920 года пароход покинул берега Крыма и до самого Константинополя — они так и ходили нераздельно вместе — впереди толстый, рыжебородый, со сложенными на груди руками, а за ним, немного сзади, двое: худощавый брюнет с усиками и седенький, маленький. Этот вечный треугольник углом вперед напоминал стадо летящих журавлей. Только один раз я увидел их не в комбинации треугольника: они дружно выстроились у борта парохода, облокотясь о перила, и поплевывали в тихую воду Черного моря с таким усердием, будто кто-нибудь дал им поручение так или иначе, а повысить уровень черноморской воды.

— Аркадий Аверченко, «Записки Простодушного (Аргонавты и золотое руно)», 1921

Я молча смотрел на нее. Рёбра — железные прутья, тесно… Когда она говорит — лицо у ней как быстрое, сверкающее колесо: не разглядеть отдельных спиц. Но сейчас колесо — неподвижно. И я увидел странное сочетание: высоко вздернутые у висков темные брови — насмешливый острый треугольник, обращенный вершиною вверх — две глубокие морщинки, от носа к углам рта. И эти два треугольника как-то противоречили один другому, клали на все лицо этот неприятный, раздражающий X — как крест: перечеркнутое крестом лицо.

— Евгений Замятин, «Мы» (Запись 10-ая), 1921

Темные брови — высоко к вискам, острый насмешливый треугольник: — Быстро уничтожить немногих — разумней, чем дать возможность многим губить себя — и вырождение — и так далее. Это до непристойности верно. <...> Она смеялась. Но мне ясно был виден ее нижний скорбный треугольник: две глубоких складки от углов рта к носу. <...> Острые зубы — острый, насмешливый треугольник бровей. Она наклонилась, молча отстегнула мою бляху.

— Евгений Замятин, «Мы» (Запись 10-ая), 1921

Река входила в узкое ущелье, сдавившее ее мощный простор. Гигантские утесы, метров четыреста высотой, надменно вздымались, сближаясь все больше и больше. Русло реки напоминало широкий треугольник, вершина которого, вытягиваясь, исчезала в изгибе ущелья. У основания треугольника высокий пенистый вал обозначал одиночный большой камень, а за ним треугольник пересекался рядом острых, похожих на черные клыки камней, окруженных неистово крутящейся водой. Ущелье вдали было заполнено острыми стоячими волнами, точно целый табун вздыбленных белых коней протискивался в отвесные темные стены. Налево в каменную стену вдавался широкий полукруглый залив, искривляя левую сторону треугольника, и туда яростно била главная струя реки, взметывая столбы сверкающих брызг.

— Иван Ефремов, «Тень минувшего», 1944

	Первое сентября, первый день нового учебного года. Нежарко светит утреннее сентябрьское солнце. Треугольником пролетает в небе журавлиная стая. И дети идут по полям, размахивая сумками.
	— Вера Панова, «Ясный берег», 1949

	Кончалось бабье лето. Ганка остановился, привлечённый далёким звоном журавлиной стаи. Она летела так высоко, что не было даже видно отдельных птиц. Быстро перемещался по небу ажурный, врезанный в синеву косой треугольник. Но Ганка долго стоял, слушал журавлиный крик, в нём пробуждались какое-то печальное умиротворение и тишина, а этого он боялся больше всего.
	— Юрий Домбровский, «Обезьяна приходит за своим черепом» (часть третья), 1958

	...нравственный идеал светит нам подобно звезде Бетельгейзе, которая, как известно, является звездой второй яркости, но первой величины, и даёт такой интересный спектр со многими линиями, и с Сириусом и Проционом, созвездиями Большого и Малого Пса образует блестящий равносторонний треугольник, обнимая каждой стороной около двадцати шести градусов…
	— Михаил Анчаров, «Теория невероятности», 1965

	Под ней был адидасовский треугольник, разбитый на полоски, только этих полосок было не три, а две, из-за чего треугольник походил на гитлеровские усы щёточкой.
	— Виктор Пелевин, «Зал поющих кариатид», 2008

	...я сам это видел слышал и чувствовал запах того воздуха необыкновенного месяца мая каштаны цвели белые грозди белые пирамиды белые треугольники покрывающие лучистую зелень шершавых листьев...
	— Леонид Коныхов, «Ах, но всё-таки», 2010

Оно было треугольным, с крыльями, сходящимися к верхней точке — и по этим крыльям проходили волны согласованной дрожи, словно там работали два архимедовых винта (еще Олег подумал о лапках очень быстрой сороконожки). Эта прозрачная дрожь была связана с его мыслями так же жёстко и однозначно, как вращение велосипедного колеса с мельканием бегущего под шину асфальта. Олег чувствовал, что мысли возникают в центре треугольника, а прозрачные крылья только задают их ритм и интенсивность, но собственная голова мешала увидеть что-то ещё. Вскоре Олег заметил, что, если он сосредотачивает внимание на этих дрожащих крыльях, их движение замедляется — или, может быть, растягивается время. Тогда мыслей становилось меньше. Он попробовал полностью остановить их, и бегущая по краям треугольника рябь замерла, превратившись в стоячую волну.

— Виктор Пелевин, «Созерцатель тени», 2010

Он увидел перед собой бесконечное чёрно-синее пространство. Сквозь тьму бил луч света, расшибавшийся о треугольную живую волну. В тени этой волны было подвешено его бессознательное тело. Сразу стало ясно, что такое расположение треугольного крыла и его тела не случайно, и свет не доходит до него, потому что он спрятан за треугольным существом. Свет знал только про треугольник, на который он падал. Для света этот треугольник и был Олегом. Стало понятно и другое — его мысли были нужны треугольному существу, чтобы притянуть с их помощью свет и пропустить его через себя, причём именно в результате этого мысли и возникали. Существо питалось светом, а сам Олег был чем-то вроде невидимого живца, на которого этот свет ловился. Само его тело тоже было мыслью, просто очень долгой и способной порождать другие. Впрочем, ловля на живца была неподходящим сравнением — скорее, треугольник использовал его, чтобы заставить свет возникнуть в пространстве. Свет был любовью, милостью, состраданием — и треугольник поглощал его, хотя предназначалось сострадание в конечном счёте Олегу.

— Виктор Пелевин, «Созерцатель тени», 2010

	Шмыга долго выкладывал на зеленом сукне треугольник из бильярдных шаров. Потом прицелился и ударил. Треугольник разлетелся с сухим треском — словно пирамида из высохших черепов. Разбив столько судеб сразу, Шмыга, похоже, удовлетворил служебный инстинкт и положил кий на бильярд.
	— Виктор Пелевин, «Операция «Burning Bush»», 2010

Треугольник в поэзии

Золотой треугольник в пентагоне

	Вот смотри ― я, твой господин и невольник, Меж колен раздвинув передник из роз, Целую на мраморе царственный треугольник Нежно курчавящихся золотых волос.
	— Михаил Зенкевич, «Золотой треугольник», 1913

	Я, еле качая веревки, в синели не различая синих тонов и милой головки, летаю в просторе крылатый как птица, меж лиловых кустов!
	— Валерий Брюсов, «Треугольник» (из цикла «Строфы и формы»), 1918

	И вновь суровые раскольники Покроют морем Ледовитым Лица ночные треугольники Свободы, звездами закрытой.
	— Велимир Хлебников, «Ладомир», 1921

	Ведьма, сев на треугольник, Превращается в дымок. С лешачихами покойник Стройно пляшет кекуок.
	— Николай Заболоцкий, «Меркнут знаки Зодиака...», 1929

	Наш художник, автор куба, Треугольника и круга, Гений, бог и господин, ― Дал вчера под вечер дуба, К сожалению ― один,..
	— Михаил Савояров, «Некролог» (из сборника «Оды и Паро́ды»), 1935 г.

	и жаждущая встречи пара любовников ― твой взгляд и мой ― к вершине перпендикуляра поднимется, не отыскав убежища, помимо горних высот, до ломоты в висках; и это ли не треугольник?
	— Иосиф Бродский, «Пенье без музыки», 1970

	Чем ближе к северу, тем тишина яснее, Тем треугольней бледная вода, И искры звонкие в небесном самосее, Как тыщи зябликов, летящих не туда.
	— Олег Юрьев, «Чем ближе к северу» (из цикла «Из поезда»), сентябрь 2011

Треугольник в кинематографе и массовой культуре

	Извечный треугольник, состоящий из мужчины и женщины…
	— из спектакля «Необыкновенный концерт», 1946

	Через тернии к звездам с буквой «У» в левом верхнем углу в треугольнике равностороннем на заднем стекле.
	— группа «Сплин», «Прочь из моей головы», 1990-е

	Мой отец рассказывал о могущественном треугольнике с выбитым на нём всевидящем оком, он говорил, что треугольник даёт своему хозяину власть, власть над временем. Он называл его «треугольником света», вы слышали о таком?
	— из экранизации «Лара Крофт: Расхитительница гробниц», 2003

	— Это похоже на пирамиды, которые нашли в Южной Америке! — А еще это похоже на треугольник.
	— из кинофильма «Затерянный мир», 2009

	— Сэр, сверьтесь по картам. Похоже, вы взяли курс на Треугольник дьявола. — Вы слышали это? Этот сухопутный верит мифу старого моряка. — Сэр, при всем моем уважении, я всю жизнь изучал морские мифы. Я знаю каждую легенду и каждое проклятие. И я знаю, что корабли, которые плывут в Треугольник, не возвращаются...
	— из кинофильма «Пираты Карибского моря: Мертвецы не рассказывают сказки», 2017

См. также

• Геометрия
• Параллельность
• Перпендикуляр
• Ортогональность
• Высота
• Ширина
• Шар
• Квадрат
• Не трогай моих чертежей!
• Треух
• Бермудский треугольник
• Любовный треугольник