Перпендикуляр

Перпендикуля́р, перпендикуля́рность — условное понятие, прямой угол между двумя идеальными линиями или бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

У этого термина существуют и другие значения, см. Перпендикуляр (значения).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: « $\perp$ », предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых $m$ и $n$ записывают как $m\perp n$ .

Перпендикуляр в научно-популярной литературе и публицистике

Жаль весьма, что г-н Головнин не прочитал страницы 108 (II том моего путешествия), где сказано: «Чтоб иметь лучший вход в гавань Св. Павла, надлежит сперва пройти перпендикуляр мыса Чиниатского, а потом держать на камень Горбун, который должно проходить по правую сторону, ибо близ островов Пустого и Лесного опасные места все видны, и там в случае безветрия можно остановиться на верпе на 60 саженях, грунт ― ил». Чрез сие он бы ясно увидел, что я южным берегом не шел и ему того чинить не советовал.^[1]

— Юрий Лисянский, «Письмо к издателям журнала «Сын Отечества», напечатанное в 52-м номере сего журнала на 1820 год», 1820

18) Две линии всегда взаимно параллельны. Пусть АС будет перпендикуляр к (линии) CD (черт. 3), которой АВ параллельна; из С проведем линию СЕ под каким угодно острым углом ECD к CD и из А опустим перпендикуляр AF на СЕ; получим прямоугольный треугольник ACF, в котором гипотенуза АС больше катета A F (предложение 9). Отложим AG=AFK наложим AF на AG; тогда АВ и FE займут положение AK и GH, причем угол BAK=FAC; следовательно, АК должна пересечь линию DC где-либо в (точке) К (предложение 16); таким образом получится треугольник АКС, внутрь которого (входит) перпендикуляр GH; он встречает линию АК в L (предложение 3) и тем определяет на линии АВ расстояние AL точки пересечения линий АВ и СЕ от точки А. Отсюда следует, что СЕ всегда встретит АВ, сколь бы мал ни был угол ECD; поэтому CD параллельна АB (предложение 16).^[2]

— Николай Лобачевский, «Геометрические исследования по теории параллельных линий», 1840

	Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению^[3] и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.^[4]
	— Вениамин Каган, «Система посылок, определяющих евклидову геометрию», 1902

Прежде всего он старался найти такую речку, против которой в море есть остров. Это верный признак, что в долине будет золото. Подымаясь вверх по реке, он искал такой приток, чтобы против устья его была отвесная скала, причем направление новой долины должно быть строго перпендикулярно к плоскости скалы и не меньше как в два километра длиною. Если это расстояние было короче или если долина шла не совсем под прямым углом к скале, она не годилась Манза все время шел впереди и выискивал все новые и новые притоки, причем протяжение их сокращалось от двух километров до одного, потом до полукилометра и т. д. Последний ключик имел метров двести длины. ^[5]

— Владимир Арсеньев, «По Уссурийскому краю», 1917

Впрочем, у Евклида встречаются и такие формулировки, которые следует признать определениями и с современной точки зрения. Таково, например, его 10-е определение, в котором определяются понятия «прямой угол» и «перпендикуляр»:
10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом [смежные] углы, равные между собой, то каждый из [этих] равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
Меньше всего, однако, мы хотели бы создать впечатление, что Евклид и другие древние авторы заслуживают лишь критики или снисходительного похлопывания по плечу: вот, дескать, какие у них неточные и примитивные формулировки, только в отдельных случаях поднимающиеся до нашего просвещённого уровня! Совсем наоборот, достойно удивления и восхищения то обстоятельство, что более двух тысяч лет назад мыслящие люди ставили перед собою задачу заложить логический фундамент математики (и блестяще решили эту задачу!). Этот факт служит опровержением известного тезиса, что движущей силой развития науки являются исключительно практические потребности: ведь и уровень строгости, и само содержание трактата Евклида далеко превосходили практические потребности того времени. Что же касается формулировок, которые кажутся нам сейчас странными, расплывчатыми, устаревшими, то такими же (или даже худшими) покажутся, надо думать, современные формулировки нашим потомкам ― причём не через две тысячи лет, а много раньше, потому что человеческая цивилизация эволюционирует с ускорением.^[6]

— Владимир Успенский, Из книги «Что такое аксиоматический метод?», 2002

На этом этапе вы скорее всего получите такой ответ: “Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой”. Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: из точки надо сперва опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой — а именно к опущенному перпендикуляру — и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: Через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.^[7]

— Владимир Успенский, «Апология математики, или О математике как части духовной культуры», 2007

Перпендикуляр в мемуарах и художественной прозе

В день экзамена у Томаса собралось много учеников: кто переэкзаменовывался, кто, как и я, держал за первый курс лонгиметрию во второй курс. Томас подошел и ко мне. «На горизонтальную линию опустить перпендикуляр», ― отзвонил он мне и отошел к другим. «Какая прелесть, какая легкая задача», ― думаю я. Вычертил чисто, жду профессора. Через некоторое время, после осмотра других учеников с их задачами, Томас подходит ко мне.
― Доказательства! ― говорит он повелительно и смотрит на меня своим серым непроницаемым взором, как будто думает о другом.
― Да ведь это так ясно, ― бойко отвечаю я и кротко, с достоинством смотрю ему в глаза. Его отозвал кто-то из экзаменующихся. Я опять жду. Вот опять Томас подходит:
― Ну, что же вы стоите, напишите доказательства. ― И он опять отошел к другим. Я опять жду. «Вот досадно, ― думаю, ― отрывают». Томас подходит в третий раз.
― Доказательства! Доказательства!^[8]

— Илья Репин, «Далёкое близкое», 1917

Покомандовавши так с полчаса, Полесов собирался было уже возвратиться в мастерскую, где ждал его непочиненный велосипедный насос, но тут спокойная жизнь города обычно вновь нарушалась каким-нибудь недоразумением. То на улице сцеплялись осями телеги, и Виктор Михайлович указывал, как лучше всего и быстрее их расцепить; то меняли телеграфный столб, и Полесов проверял его перпендикулярность к земле собственным, специально вынесенным из мастерской отвесом; то, наконец, устраивалось общее собрание жильцов.^[9]

— Илья Ильф, Евгений Петров, «Двенадцать стульев», 1927

	И он тогда открыл футляр и встал как перпендикуляр. И слушали бандиты, сонаты и сюиты.
	— Автор: «Три типа и скрипач» (мультфильм), 1993

Поэтому… говорит учитель и между рядов подходит к тому, к кому надо, берет того, кого надо, за нос, зажимает между своими указательным и средним пальцами тому, кому надо, нос, причем видно, что зажимает не слабо, и, как бы забыв про стиснутого, начинает прохаживаться и между рядов, и перед рядами, а стиснутый прохаживается тоже на пределе боли. Вырываться он не вырывается, понимая, что, если повырываешься, будет больней. К тому же — авторитет учителя. А так, пока терпимо, он и ходит вперед головой, а новый учитель расхаживает себе по свободным пространствам пола, а все внимательно наблюдают, а тот, кому водить, стоит у доски с деревянным треугольником и мелом.
― Ну! ― Восстанавливаем перпендикуляр… ― раздается бредовое предложение у доски стоящего.
― К чему? К животу? — балаганит учитель. — Как его зовут, ребятки? обращается он к увлеченному событиями классу, которому не ясно, ч т о намерен педагог совершить рукой левой, ибо правая еще не отпустила нос того, кого надо.^[10]

— Асар Эппель, «Худо тут», 1997

Он знал слова Форт-Брэгг, Нью-Йорк, Тихуана, Лиза, Миллениум, но они означали для него ровно столько, сколько могут означать любые другие слова ― например, мракобесие. Об этом слове он и думал, подставляя к нему залетных попутчиков: мракобесие катаракты, мракобесие перпендикуляров, мракобесие катарсиса… больше всего ему понравилось ― мракобесие араукарии. Последнее мракобесие араукарии. Вот этого ты и ждал: новый век перпендикулярного катарсиса; люди летают на машинах на другие планеты, поймали снежного человека, изобрели бессмертие.^[11]

— Вадим Месяц, «Лечение электричеством» (роман из 84-х фрагментов Востока и 74-х фрагментов Запада), 2001

Далеко-далеко, на дальнем конце огромной залы, за широким столом, обтянутым зеленым сукном, сидел невысокий лысоватый человечек. На стене над его головой горела золотом надпись: «Министр культуры королевства господин Перпендикуляр». Трое посетителей сделали несколько шагов вперед, и тут Марик услышал, как Иогансон и Эва одновременно тихо ахнули.
― Это же… чёрт побери моих кроликов… это же… не может быть! ― пробормотал Иогансон. ― Как он здесь очутился?^[12]

— Дина Сабитова, «Цирк в шкатулке», 2007

Дельта Нила совпадет с дельтой Волги, а Святая земля с Ширваном, если юг и восток отразить зеркальным поворотом в север и запад. Возьмите линейку и циркуль ― ими удобно строить перпендикуляры. Проверьте. Так вот, симметрия и противоположность состоят в следующем. В нильской дельте властвовало рабство. А исход в обетованную землю был направлен к норд-осту ― в свободу.^[13]

— Александр Иличевский, «Перс», 2010

Перпендикуляр в поэзии

...и перпендикуляр стоймя
восставь, как небесам опору,
меж нашими с тобой двумя ―
да, точками: ведь мы в ту пору
уменьшимся и там, Бог весть,
невидимые друг для друга,
почтём ещё с тобой за честь
слыть точками; итак, разлука
есть проведение прямой,
и жаждущая встречи пара
любовников ― твой взгляд и мой ―
к вершине перпендикуляра
поднимется, не отыскав
убежища, помимо горних
высот, до ломоты в висках;
и это ли не треугольник? <...>
Итак, пускай длина черты
известна нам, а нам известно,
что это ― как бы вид четы,
пределов тех, верней, где места
свиданья лишена она,
и ежели сия оценка
верна (она, увы, верна),
то перпендикуляр, из центра
восставленный, есть сумма сих
пронзительных двух взглядов...^[14]

— Иосиф Бродский, «Пенье без музыки», 1970

	Стояла, как перпендикуляр, как тополь или как столб, а взор бесшумно гулял, а грудь издавала стон.^[15]
	— Борис Слуцкий, «Баскетбольный рост», 1977

	Так запрокинут лоб, отозванный от яви, что перпендикуляр, который им взращён, опорой яви стал и, если бы отняли, распался бы чертёж, содеянный зрачком.
	— Белла Ахмадулина, «Так запрокинут лоб, отозванный от яви...», 1987

Поверхностное натяжение стягивает пространство
в холерные бунты,
складывается складками на мундире ефрейтора.
Втыкаются в кладбище пикирующие кресты.
И тебе не спится в астральных твоих сферах,
потому что совесть ― это не вектор, а перпендикуляр,
восставленный к вектору…
И тебя притягивает «Елисеевский»,
гостиница «Советская» ― бывший ресторан…»^[16]

— Александр Ерёменко, «Зачем ты рискуешь магазином и душистой папироской...», 1989

	Мой взгляд остроконечен и неясен, но выбор сделан. Так с пустых небес свой перпендикуляр свершает ястреб, внизу завидев обречённый блеск.
	— Белла Ахмадулина, «Я ровно в полночь возжигаю свечи...» (из цикла «Возле елки»), 1999

Примечания

↑ В.М.Головнин. «Путешествие вокруг света, совершённое на военном шлюпе в 1817, 1818 и 1819 годах флота капитаном Головниным». — М.: «Мысль», 1965 г.
↑ Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий. — М., Издательство Академии Наук СССР. 1945 г.
↑ Эти положения — о сумме углов и параллельности — относятся исключительно к евклидовой геометрии. В геометриях Лобачевского и Римана они не действуют.
↑ Каган В. Ф. Система посылок, определяющих евклидову геометрию // Записки Математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей. — 1902 г. — Т. XX. — С. 67—105
↑ В.К. Арсеньев. «По Уссурийскому краю». «Дерсу Узала». — М.: Правда, 1983 г.
↑ Успенский В.А. Труды по нематематике. — М., ОГИ, 2002 г.
↑ Успенский В.А. «Апология математики, или О математике как части духовной культуры». — М.: журнал «Новый Мир», № 11-12, 2007 г.
↑ Илья Репин. «Далёкое близкое». Воспоминания. М.: Захаров, 2002 г.
↑ Илья Ильф, Евгений Петров. «Двенадцать стульев». — М.: Вагриус, 1997 г.
↑ Асар Эппель. «Шампиньон моей жизни». — М.: Вагриус, 2000 г.
↑ В. Месяц. «Час приземления птиц» (Сборник стихотворений). — М.: МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000 г. — 127 стр.
↑ Д. Р. Сабитова, «Цирк в шкатулке». — М.: Самокат, 2007 г.
↑ Александр Иличевский, «Перс» (роман), Москва, изд. «АСТ», 2010 г.
↑ Иосиф Бродский. Собрание сочинений: В 7 томах. — СПб.: Пушкинский фонд, 2001 г. Том 1
↑ Б.А.Слуцкий. Собрание сочинений: В трёх томах. — М.: Художественная литература, 1991 г.
↑ А. Еременко. «Матрос котенка не обидит». Собрание сочинений. — М.: Фаланстер, 2013 г.

См. также

Поделитесь цитатами в социальных сетях:
ВКонтакте • Facebook • Твиттер • Живой Журнал

[1] В.М.Головнин. «Путешествие вокруг света, совершённое на военном шлюпе в 1817, 1818 и 1819 годах флота капитаном Головниным». — М.: «Мысль», 1965 г.

[2] Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий. — М., Издательство Академии Наук СССР. 1945 г.

[3] Эти положения — о сумме углов и параллельности — относятся исключительно к евклидовой геометрии. В геометриях Лобачевского и Римана они не действуют.

[4] Каган В. Ф. Система посылок, определяющих евклидову геометрию // Записки Математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей. — 1902 г. — Т. XX. — С. 67—105

[Уссури-5] В.К. Арсеньев. «По Уссурийскому краю». «Дерсу Узала». — М.: Правда, 1983 г.

[6] Успенский В.А. Труды по нематематике. — М., ОГИ, 2002 г.

[7] Успенский В.А. «Апология математики, или О математике как части духовной культуры». — М.: журнал «Новый Мир», № 11-12, 2007 г.

[Репин-8] Илья Репин. «Далёкое близкое». Воспоминания. М.: Захаров, 2002 г.

[9] Илья Ильф, Евгений Петров. «Двенадцать стульев». — М.: Вагриус, 1997 г.

[10] Асар Эппель. «Шампиньон моей жизни». — М.: Вагриус, 2000 г.

[11] В. Месяц. «Час приземления птиц» (Сборник стихотворений). — М.: МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000 г. — 127 стр.

[12] Д. Р. Сабитова, «Цирк в шкатулке». — М.: Самокат, 2007 г.

[Персик-13] Александр Иличевский, «Перс» (роман), Москва, изд. «АСТ», 2010 г.

[брд-14] Иосиф Бродский. Собрание сочинений: В 7 томах. — СПб.: Пушкинский фонд, 2001 г. Том 1

[15] Б.А.Слуцкий. Собрание сочинений: В трёх томах. — М.: Художественная литература, 1991 г.

[16] А. Еременко. «Матрос котенка не обидит». Собрание сочинений. — М.: Фаланстер, 2013 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]