Василий Яковлевич Цингер: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bff (обсуждение | вклад) |
Bff (обсуждение | вклад) |
||
Строка 17:
Предлагаемые в настоящей статье элементарные соображeния, если и не дают полного pешения задачи, тем не менее могут представлять интерес для любителей reoметрии, потому что бросают хотя некоторый свет на этот по-видимому столь простой, но до сих пор ещё совершенно тёмный вопрос<ref name="МС-16-2-317">Цитируется по изданию: {{статья|автор=Цингер В. Я.|заглавие=К вопросу о точке наименьшего расстояния|оригинал=|ссылка=http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v16/i2/p317|автор издания=|издание=Математический сборник|тип=журнал|место=М.|год=1892|том=16|номер=2|страницы=317—341}}</ref>.
----
7. В заключение укажем на некоторые частные случаи.<br />Если к системе точек ''A<sub>1</sub>'', ''A<sub>2</sub>'', … ''A<sub>n</sub>'', имеющих точку наименьшаго расстояния в ''P'', прибавим две точки ''B<sub>1</sub>'' и ''B<sub>2</sub>'', лежащия на прямой, проходящей через ''P'', и по разные стороны от ''P'', то ''P'' останется точкою наименьшего расстояния и для совокупной системы ''A<sub>1</sub>'', ''A<sub>2</sub>'', … ''A<sub>n</sub>'', ''B<sub>1</sub>'', ''B<sub>2</sub>'', потому что сумма ''PB<sub>1</sub>'' + ''PB<sub>2</sub>'' представляет кратчайшее расстояние между ''B<sub>1</sub>'' и ''B<sub>2</sub>''. Таких пар можем прибавлять сколько угодно и это, очевидно, соответствует прибавлению к многоугольнику ''a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>'' … ''a<sub>n</sub>'' двойных вершин, о которых было упомянуто выше. Отсюда следует, между прочим, что для вершин всякого многоугольника с чётным числом сторон, в котором главные диагонали проходят через одну точку, эта точка всегда есть точка наименьшего расстояния, что, впрочем, можно считать очевидным. Точка наименьшего расстояния для вершин выпуклого четырёхугольника находится, следовательно, также в пересечении диагоналей; если же четырёхугольник имеет входящий угол, то, как легко убедиться, точкою наименьшего расстояния от его вершин будет вершина входящего угла.<br />Центр всякого правильного многоугольника есть точка наименьшего расстояния для всякой системы точек, взятых где угодно на лучах, проведённых из центра к вершинам многоугольника. Для многоугольников с нечётным числом сторон это следует из того, что выполняются условия (1), а для многоугольников с чётным числом сторон — из того, что в них диагонали, соединяющие противоположные вершины, проходят через центр.<br />Если вообще точка ''P'' есть в одно время точка наименьшего расстояния для двух систем точек ''A'' и ''B'' в отдельности, то она же будет точкою наименьшего расстояния и для совокупной системы точек ''A'' и ''B''.<br />Для системы, состоящей из нечётного числа точек, лежащих на одной прямой, точкою наименьшего расстояния служит средняя из данных точек, то есть та, от которой в ту и другую сторону находится по равному числу точек. Если же на прямой линии дано чётное число точек, то положение точки наименьшего расстояния остаётся неопределённым; в этом случае наименьшую и одинаковую сумму расстояний имеют все точки среднего отрезка между данными точками, то есть того отрезка, от средины которого вправо и влево на прямой находится одинаковое число точек<ref name="МС-16-2-317" />.
== Примечания ==
| |||